切比雪夫多项式，作为一种特殊的正交多项式，在数学分析和数值分析中扮演着重要角色。由俄国数学家切比雪夫在19世纪中期发现，以其独特的性质和广泛应用而闻名。
切比雪夫多项式(T_n(x))定义为：
T_n(x)=\cos(n\arccos(x))]
(\arccos(x))表示(x)的反余弦函数。切比雪夫多项式的系数具有特殊性质，例如：
Tn(x)=\sum{k=0}^{n}c_kx^k]
(c_k)是切比雪夫多项式的系数。切比雪夫多项式具有以下递推关系： T_{n+1}(x)=2xTn(x)-T{n-1}(x)]
在数值分析中，切比雪夫多项式常用于求解常微分方程和偏微分方程。例如，利用切比雪夫多项式可以求解热传导方程和波动方程。
在数学分析中，切比雪夫多项式可以用于证明一些重要的数学定理，如魏尔特拉斯逼近定理。
第一类切比雪夫多项式(Tn(x))在区间([-1,1])上具有正交性，即：
\int{-1}^{1}T_n(x)Tm(x)\,dx=\frac{\i}{2}\delta{nm}]
(\delta_{nm})是克罗内克δ函数。第二类切比雪夫多项式(Un(x))在区间([-1,1])上具有正交性，即： \int{-1}^{1}U_n(x)Um(x)\,dx=\frac{\i}{2}\delta{nm}]
切比雪夫多项式作为一种特殊的正交多项式，在数学分析和数值分析中具有广泛的应用。通过对切比雪夫多项式的深入研究和应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。